En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

  • 0 ÷ 0 {\displaystyle 0\div 0}
  • ∞ ÷ ∞ {\displaystyle {\infty }\div {\infty }}
  • 0 × ∞ {\displaystyle 0\times \infty }
  • ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty }
  • 0 0 {\displaystyle 0^{0}}
  • 1 ∞ {\displaystyle 1^{\infty }}
  • ∞ 0 {\displaystyle \infty ^{0}}
  • 1 0 {\displaystyle {\sqrt[{0}]{1}}}
  • 0 ∞ {\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{0}}}
  • ∞ ∞ {\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{\infty }}}
  • log 0 ⁡ ( 0 ) {\displaystyle \log _{0}(0)}
  • log ∞ ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \log _{\infty }(\infty )}
  • log 1 ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \log _{1}(1)}
  • log ∞ ⁡ ( 0 ) {\displaystyle \log _{\infty }(0)}
  • log 0 ⁡ ( ∞ ) {\displaystyle \log _{0}(\infty )}

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, menos generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

lim x → c f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a ∞ {\displaystyle {\infty }} , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0, ∞ {\displaystyle {\infty }} o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:

lim x → 0 sin ⁡ ( x ) x = 0 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}
lim x → 0 x 2 x = 0 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}}
La forma ∞ {\displaystyle {\infty }} / ∞ {\displaystyle {\infty }}

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞ {\displaystyle {\infty }} . En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞ {\displaystyle {\infty }} / ∞ {\displaystyle {\infty }} . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

lim x → ∞ e x x = ∞ ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {\infty }{\infty }}}
lim x → ∞ x ln ⁡ ( x ) = ∞ ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {\infty }{\infty }}}

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ∞ {\displaystyle {\infty }}

lim x → 0 x ⋅ ln ⁡ x = 0 ⋅ ( − ∞ ) {\displaystyle \lim _{x\to 0^{ }}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}


lim x → π 2 cos ⁡ x ⋅ tan ⁡ x = 0 ⋅ ∞ {\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es ∞ {\displaystyle {\infty }} , no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞ {\displaystyle {\infty }} – ∞ {\displaystyle {\infty }} . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada

  • La forma 00
lim x → 0 x x = lim x → 0 e ln ⁡ x x = lim x → 0 e x ln ⁡ x = e lim x → 0 ( x ln ⁡ x ) . {\displaystyle \lim _{x\to 0^{ }}x^{x}=\lim _{x\to 0^{ }}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{ }}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{ }}(x\ln x)}.}
  • La forma ∞ {\displaystyle {\infty }} 0
  • La forma 1 ∞ {\displaystyle {\infty }}

Ejemplo: el siguiente límite[1]​

lim x → 0 x ( 3 4 ln ⁡ x ) {\displaystyle \lim _{x\to 0^{ }}x^{\left({\frac {3}{4 \ln x}}\right)}} , es de la forma 0 0 {\displaystyle 0^{0}} ; considerando
y = x ( 3 4 ln ⁡ x ) {\displaystyle y=x^{\left({\frac {3}{4 \ln x}}\right)}}

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

ln ⁡ y = 3 4 ln ⁡ x ln ⁡ x {\displaystyle \ln y={\frac {3}{4 \ln x}}\ln x} aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
ln ⁡ y = 3 ⋅ 1 / x 1 / x = 3 {\displaystyle \ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3} de manera que el límite sería
lim x → 0 y = e 3 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{ }}y=e^{3}}

Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Véase también

  • Bien definido
  • División por cero
  • Recta real extendida
  • Regla de l'Hôpital
  • Infinito

Referencias

Bibliografía

  • Stewart, James (1999). Cálculo:Trascendentes tempranas. Thompson Learning. ISBN 970-686-127-0. 
  • Apostol, Tom (2006). Cálculus. Reverte. ISBN 968-6708-10-3. 

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